Применим законы сохранения энергии и импульса для решения задачи баллистики.

Пуля массой m выстреливается в ящик с песком массой M. Необходимо определить начальную скорость пули v0, зная конечную скорость V движения системы «ящик с песком + пуля». Заодно это поможет понять работу команды solve (как масштабировать переменные, чтобы можно было строить графики, не задумываясь о численных параметрах задачи).

Понадобятся два уравнения – для законов сохранения импульса и сохранения энергии. Учтем, что часть механической энергии пули превращается в теплоту, т. е. часть кинетической энергии системы «пуля» превращается в энергию перемещения (кинетическую) системы «ящик с песком + пуля» (M + m), а оставшаяся идет на нагрев песка (обозначаем Q). Скорость пули изменяется от v0 до V. Условия, при которых часть механической энергии уходит из системы, называются неупругими.

Из закона сохранения энергии следует, что кинетическая энергия пули до ее попадания в ящик с песком равна кинетической энергии системы «пуля + (ящик после удара) + (тепло, образовавшееся при торможении пули внутри ящика)».

• En:=m/2*v0^2=(M+m)/2*V^2+Q;

Из закона сохранения импульса следует:

• Mom:=m*v0=(M+m)*V;

Получаем систему двух уравнений относительно двух неизвестных (тепло и конечная скорость). Применяем solve, чтобы ее решить:

• sol:=solve({En,Mom},{V,Q});

В результате из амплитуды ожидаемого движения ящика с песком получается конечная скорость, а тогда, зная массы, можно определить начальную скорость v0. Для этого надо взять первую часть решения. Выделим ее:

• nops(sol);
• sol[1];
• solve(%,v0);

Пусть масса ящика с песком в 1000 раз больше массы пули, например 5 кг и 5 г:

• subs(M=1000*m,%);

Из предыдущего мы знаем, что для получения соотношения начальной скорости пули и конечной скорости ящика с пулей нам надо знать отношение соответствующих масс. Интересен вывод относительно той части кинетической энергии, которая превращается в тепло.

• sol[2];

В нашем случае переменная Q имеет вид:

• assign(sol[2]);
• Q;
• fr:=subs(M=1000*m,Q)/(m/2*v0^2);

Видно, что значительная часть кинетической энергии пули идет на нагрев песка. В целом эта часть:

• fr:=Q/(m/2*v0^2);

Можно ли записать эту часть как функцию отношения масс r = M/m?

• fr1:=subs(M=m*r,fr);
• fr1:=simplify(fr1);
• with(plots):
• semilogplot(fr1,r=1..1000);

Из графика становится ясно, что для r = M/m порядка 100 и более столкновение становится полностью неупругим. Это можно использовать и решать задачу приближенно из сохранения импульса (раз в правой части уравнения закона сохранения энергии Q полностью преобладает, то другой вклад можно игнорировать, и уравнение становится неопределенным для V). Теперь можно решать задачу баллистического маятника, где кинетическая энергия системы «пуля + песок» превращается в потенциальную энергию гравитации:

• Mom:=m*v0=(M+m)*V;
• V:=solve(Mom,V);
• En:=(M+m)/2*V^2=(M+m)*g*h;
• height:=solve(En,h);

Можно рассмотреть другие типы одномерных столкновений. Например, упругие столкновения с разными конечными скоростями осколков и мишени. Определим заново переменные:

• restart;
• En;

Сохранение энергии:

• En:=m/2*v0^2=m/2*v^2+M/2*V^2;

Сохранение импульса:

• Mom:=m*v0=m*v+M*V;
• sol:=solve({En,Mom},{V,v});

В решении – два набора:

• первый – это начальные условия до столкновения (масса M покоится, а масса m движется скоростью v0);
• во втором наборе – интересующие нас величины:

• assign(sol[2]);
• v,V;

Выразим отношение начальной и конечной скоростей легкой частицы как функцию отношения масс r:= M/m:

• ratio:=simplify(subs(M=r*m,v)/v0);
• with(plots):
• semilogplot(ratio,r=1..1000);

Видно, что при M/m более 100 движение описывается в основном отражением легкой частицы m от стены, т. е. предельным случаем, в котором v = –v0.

Упражнение 4.3.1

Создайте график отношения V/v0 как функции отношения масс. Нарисуйте доли кинетической энергии участников столкновения как функции отношения масс.

Намек: легкий и тяжелый шарики (массы соответственно m и M) падают в поле тяжести с высоты h0, причем в начальный момент легкий шарик m находится на вершине большого M. Какой высоты достигнет легкий шарик?

Полагаем, что столкновения – упругие, и игнорируем ускорение полем тяжести в сам момент столкновения.

Первое – это закон сохранения энергии: когда система из двух шариков сталкивается с землей, то происходит полное превращение потенциальной энергии гравитации в кинетическую энергию:

• restart;
• En1:=(m+M)*g*h0=(m+M)/2*v0^2;

Больший шарик M упруго отскакивает от земли, т. е. его скорость становится –v0. Затем он сталкивается с малым шариком m, который все еще движется вниз со скоростью v0.

• En2:=M/2*v0^2+m/2*v0^2=M/2*V^2+m/2*v^2;
• Mom2:=M*(-v0)+m*v0=M*V+m*v;

Конечную высоту малого шарика обозначим h и определим ее из закона сохранения энергии:

• En3:=m/2*v^2=m*g*h;

Можно попробовать простое приближение, задав для Maple набор четырех уравнений:

• sol:=solve({En1,En2,Mom2,En3},h);

Нужно подумать:…

• v0s:=solve(En1,v0);

Выбор корня зависит от определения положительного направления. Если положительное – вверх, то для описания движения вниз выбираем отрицательный корень:

• v0:=v0s[2];
• sol:=solve({En2,Mom2,En3},h);

Трудности все еще не преодолены, даже если v0 уже подставлена:

• En2;
• solve(Mom2,V);
• V:=simplify(%);
• solve(En2,v);

Какой из двух корней имеет физический смысл? Первый описывает ситуацию до столкновения (движение вниз с v0), т. е. нужен тот, что после столкновения, который зависит от масс:

• v:=%[2];
• solve(En3,h);
• h:=%;

Ответ опять надо рассмотреть как функцию отношения масс и выделить начальную высоту:

• ratio:=simplify(subs(M=r*m,h)/h0);
• with(plots):
• semilogplot(ratio,r=1..1000);

Результат удивителен: легкий шар подскочит на высоту, кратно большую начальной! Кривая показывает ограничение:

• limit(ratio,r=infinity);

При отношении масс r = M/m > 100 достигается максимально возможное отношение высот. Легкий шарик может достичь высоты в девять раз большей, чем та, с которой он брошен.

Эта задача имеет последствия, которыми можно объяснять многие сложные явления в физике. Пример: взрыв сверхновых звезд вследствие их сжатия и т. п.

Конечно, законы сохранения не могут много сказать о деталях динамики движения. Тем не менее важно понять, что дифференциальные уравнения движения, описывающие детали движения (например, в механике – закон Ньютона), имеют решения, удовлетворяющие законам сохранения.