Два и более соединенных друг с другом маятников называются связанными. Похожая система рассматривалась в задаче о накачке колебаний в качелях, которые в конце концов представлялись как своеобразный маятник.

Рассмотрим два маятника, сцепленных куском горизонтальной резиновой трубки. Один маятник фиксируется, другой отклоняется от положения равновесия, в результате на второй действует возвращающий момент от (а) силы тяготения и (б) резиновой трубки. Если оба маятника смещены вместе, то на каждый действует сила тяготения и возвращающий момент от резиновой трубки, но сама трубка между ними не играет роли, поскольку оба они отклонены в одном направлении. Однако если маятники смещены в разных направлениях, то трубка между ними изгибается, создавая дополнительный возвращающий момент. Именно это различие в возвращающей силе между «совместным» и «противоположным» движениями есть причина двух немного различных частот, создающих биения, которые рассмотрим здесь.

Для малых смещений действие тяготения (плюс малый вклад от трубки) можно моделировать как возвращающие крутящие пружины с постоянными упругости κ₁ и κ₂ соответственно для маятников 1 и 2. Их потенциальная энергия

(3.4.1)

Трубка добавляет связывающий член в потенциальную энергию

(3.4.2)

Кстати, эта дополнительная возвращающая потенциальная энергия равна 0, если угловые смещения одинаковы.

Полная потенциальная энергия равна

(3.4.3)

Запишите функцию потенциальной энергии:

(3.4.4)

Чтобы получить функцию Лагранжа (L = T – U), используйте лагранжево уравнение движения

(3.4.5)

Чтобы получить уравнение движения для θ₁(t) и θ₂(t), упростите эти уравнения, предположив, что оба маятника одинаковы: κ₁ = κ₂ = k и I₁ = I₂ = I. Также исключите упругие постоянные и моменты инерции, введя определения:

, (3.4.6)

где ω₀ – собственная частота одиночного маятника; ω_c – собственная частота середины трубки, соединенной с двумя маятниками.

И в конце приведите эти два ДУ второго порядка к виду двух связанных ДУ первого порядка. Вы получите (если все сделаете правильно) следующие четыре ДУ первого порядка, описывающие движение системы связанных маятников:

(3.4.7)

(3.4.8)

(3.4.9)

(3.4.10)

где θ₁ и θ₂ – угловое положение маятников (θ отсчитывается от вертикального положения); ω₁, ω₂ – угловые скорости.

(a) Решите символьно в Maple уравнения (3.4.7)–(3.4.10) без начальных условий, чтобы увидеть, можете ли вы найти две разные частоты, вызывающие биения, которые получатся при дальнейшем решении.

(b) Решите численно систему с ω = 1.3 и ω_c = 0.3; начальные условия поставьте все нулевыми, кроме θ₁(0) = 0.3. Постройте графики θ₁ и θ₂, один над другим.

Рассчитываемое время колебаний должно быть достаточным, чтобы можно было увидеть, как θ₂(t) становится большим, а затем малым. Получите нечто похожее на рис. 3.4.1. Картинка циклического роста-спада графиков амплитуд θ₁(t) и θ₂(t) – это пример интерференционных биений, вызванных наличием в динамике двух разных частот.

Рис. 3.4.1. Перекачка энергии между θ₁ (наверху) и θ₂ (внизу) за счет биений

(c) Запустите расчет на достаточно длительное время колебаний, такое, чтобы в сделанном затем (из этого расчета) спектре FFT для θ₁(t) были видны два максимума, соответствующие двум частотам, смешивание которых вызывает биения. Проверьте, что частота биений ω_b = 2πT_b (где T_b – это время одного колебания от максимума до нуля амплитуды и затем вновь до максимума амплитуды) связана с двумя пиками спектра ω₊ и ω_– так:

ω_b = ω₊ – ω_–. (3.4.11)

Проверьте, что две частоты в FFT – это именно те самые частоты, что предсказывает расчет. Учтите: на рисунке колебаний недостаточно для правильной работы FFT. По общему правилу ваш временной график должен выглядеть непрерывным, чтобы можно было сделать FFT. Максимальное время порядка 2000 сработает замечательно.

(d) Теперь добавим линейное затухание в уравнения маятника, запустим систему с начальными условиями θ₁(0) = 0.3, θ₂(0) = 0, , и изучим, как движутся осцилляторы. Используйте:

(3.4.12)

при γ = 0.07. Рассмотрите графики θ₁(t) и θ₂(t) и обсудите, что происходит с энергией, которую вначале придали маятнику 1.

(e) Будем управлять маятником 1, прилагая малый отрицательный вращающий момент N₁ = –0.3 независимо от того, является ли θ₁ положительным или отрицательным. Возможно, понадобится логическое выражение в программке для Maple (там, где в наборе ДУ надо определять правую часть ДУ). Вынуждающая сила похожа на регулятор хода в маятнике часов, в котором механическая связь позволяет грузам толкать вперед маятник, когда он находится в соответствующем месте траектории движения. Подумайте об этом управлении и проверьте, что оно всегда дает энергию в маятник 1. Как в части (b), не демпфируйте маятник 1, просто оставьте затухание для маятника 2. Запустите расчет на время, достаточное для получения устойчивого состояния, в котором оба маятника имеют постоянную амплитуду. Обсудите потоки энергии в системе.

Теперь мы готовы изучить очень популярную в 1600-х гг. задачу динамики. Гюйгенс обнаружил, что если два маятника подвесить на стену рядом друг с другом, то они стремятся синхронизироваться друг с другом. Посмотрим, можем ли мы описать это нашими уравнениями движения.

(a) Вначале пусть оба мятника демпфированы и управляются, как описано в частях (d) и (e) задания 3.4.2, но при этом связь убирается, для чего задается ω_c = 0. Запустите расчет и убедитесь, что каждый маятник пришел в собственное независимое равновесное состояние.

Теперь добавьте небольшую связь, задавая снова ω_c = 0.3 (легкие толчки, которые испытывают часы на стене как источнике связи), и посмотрите, синхронизируются ли часы друг с другом (синхронизация означает, что оба маятника обладают одинаковым периодом с некоторым сдвигом фазы между ними. В литературе по нелинейной динамике этот эффект называется увлечением). При выполнении расчета задайте для маятника 1 θ₁ = 1 и и попробуйте разный выбор начальных условий для маятника 2. Когда произойдет захват, проверьте разность фаз между часами (достаточно определить на глаз). Сколько разных соотношений между фазами вы наблюдаете в вашем численном эксперименте? (Чтобы найти соотношения между фазами, попытайтесь наложить графики θ₁ и θ₂.) Имеют ли одинаковые частоты захваты в фазе и не в фазе?

(b) В литературе по нелинейной динамике захват является эффектом, который зависит от демпфирования, управления и нелинейности осциллятора. Где в ваших уравнениях движения находится нелинейность?

(c) В конце сделаем часы более реальными путем:

• замены в каждом уравнении движения –ω²θ на –ω²sinθ;
• задания их собственных частот немного разными. Для этого в уравнении движения для маятника 2 задайте вместо ω² 1.03ω², 1.1ω², 1.25ω² (расчет выполните для всех трех случаев). Обнаружите, что захват относительно устойчив. Это означает, что для синхронизации часы не должны иметь в точности одинаковый период, но если они сильно разнятся, то эффект пропадает. Зависит ли эта устойчивость от параметра связи ω_c? Как ваш ответ относится к реальным часам на стене?