Уравнение нелинейного осциллятора ван дер Пола записывается так:

(3.3.1)

Это простое модельное ДУ для систем, имеющих внешний источник энергии, который является причиной неустойчивости состояния покоя (x = 0, v = 0), но который к тому же имеет сильное затухание, достаточное, чтобы нестабильность не росла до произвольно большой амплитуды

Изучим уравнение (3.3.1) и убедимся, что состояние покоя нестабильно, но большая амплитуда движения подавляется (в среднем). Для проверки недостаточно задать x = 0, v = 0 и ждать, что произойдет нечто. На самом деле ничего не произойдет, так как это – точка равновесия. Для проверки устойчивости надо стартовать с точки, очень близкой к равновесию, и смотреть, останется ли система вблизи оного или уйдет от него. Поэтому задавайте x = 0.0001, v = 0. На рис. 3.3.1 изображено фазовое пространство, и на нем видны две структуры. Стрелки направлены от начала координат, и в целом поток – исходящий, направленный на внешние края картинки. Он направлен неоднородно, и в дальнейшем увидим эффект направленных наружу сгущений.

Рис. 3.3.1. Фазовое пространство осциллятора ван дер Пола

(a) Решите численно уравнение 3.3.1 для ε = 0.3, ω₀ = 1.3, l = 1. Точность расчетов сделайте ~ 10^–5, такой, чтобы приемлемая точность достигалась в приемлемое время. (В нормальной ситуации нужно было бы стремиться к лучшей устойчивости решения, но приходится выбирать. Если можете считать долго – задавайте хорошую точность.) Для набора нескольких разных начальных условий нарисуйте график x(t) и фазовый график v(x). Обратите внимание, что на самом деле при любых начальных условиях фазовый график – одна и та же кривая. Кривая в фазовом пространстве, на которой основаны решения, называется предельным циклом.

(b) Повторите задание (a) при ε = 1 и ε = 20 и увидите, что предельный цикл изменяет форму. Нарисуйте спектр x(t) для ω₀ от 0 до 20 и посмотрите, где находятся главные максимумы.

Наблюдавшийся в этой задаче предельный цикл – это простой пример аттрактора в фазовом пространстве.

Аттрактор – это кривая в фазовом пространстве ДУ, к которой стремятся различные решения (с разными начальными условиями).

Например, для демпфированного неуправляемого гармонического осциллятора аттрактор – это просто состояние без движения: x = 0, v = 0, потому что все решения здесь заканчиваются. Более интересен аттрактор управляемого гармонического осциллятора: его конечное управляемое устойчивое состояние выглядит как эллипс в фазовом пространстве. Поскольку такой аттрактор это не единственная точка, его также называют предельным циклом. Для осциллятора ван дер Пола аттрактор – это странного вида кривая (или предельный цикл) в фазовом пространстве (x, v), к которой стремятся все решения.

Иногда аттрактор – не единичная кривая, а очень сложная структура, вроде известного аттрактора Лоренца. Такие аттракторы называют странными аттракторами, и они являются примерами хаотической системы. О хаосе речь пойдет ниже, но ни один из аттракторов не будет странным (кроме лоренцева).

Добавим вынуждающую силу к осциллятору ван дер Пола:

(3.3.2)

При l = 1, ε = 2, ω₀ = 1.3, ω = 1.4 ступеньками повышайте A от 0 до 1.5 и смотрите, что происходит со спектром x(t). Изменяйте А достаточно большими ступеньками, чтобы увидеть качественные изменения (т. е. не надо задавать A = 0.01, A = 0.02, A = 0.03 и т. д.).

Обнаружите, что при увеличении А предельный цикл становится нечетким и что в спектре растет число выбросов. В конце, вблизи A = 1.25–1.27 спектр станет сложным (при необходимости увеличивайте масштаб графика, чтобы увидеть, что спектр состоит из крошечных пиков). Затем достаточно резко вблизи A = 1.28 осциллятор переходит в режим скорректированного управления от вынуждающего источника; это означает, что осциллятор колеблется на вынуждающей частоте ω = 1.4 и ее гармониках, что делает спектр снова простым (чтобы это увидеть, надо внимательно отслеживать спектр).

Показанное в задании 3.3.2 поведение называется увлечением. В нем осциллятор синхронизируется другим периодическим сигналом. Пример такой системы – человеческое сердце. У него есть внешний источник энергии, состояние покоя нестабильно (оно стремится не стоять, а биться), предельный цикл стабилен. Иногда этот цикл становится нерегулярным, и тогда нужно давать периодический управляющий сигнал от ритмоводителя, причем мощность сигнала должна быть достаточна, чтобы увлечь сердце, заставить его восстановить стабильный предельный цикл, хотя бы и на частоте, определяемой ритмоводителем, а не той, которая физически нужна пациенту.

Немного переключимся на одну из интереснейших областей ДУ – динамический хаос. Динамическая система – одна из тех, где динамические переменные (например, координата и скорость) ведут себя, по-видимому, беспорядочно и проявляют предельную чувствительность к начальным условиям. Но при том же наборе параметров и начальных условий движение системы повторяется, хотя трудно предсказать, как малое изменение параметров или начальных условий подействует на движение.

Хаотические системы изучаются давно. Пример – хорошо известное ДУ для вынужденных колебаний маятника с затуханием:

(3.3.3)

Здесь только две степени свободы и все переменные выглядят приятными и гладкими. Но при соответствующем выборе A, ω, ω₀, и γ решения ДУ становятся непредсказуемыми.

Другой пример – хаотическое движение молекул газа, которое хаотично для одной частицы, а для 10²³ молекул дает вполне предсказуемый результат.

Хаос трудно изучать, потому что это – старая проблема физики, где формулы не очень помогают. Формулы, когда их можно получить, дают решения ДУ, которые предсказывают результат движения и нехаотичны. Динамика хаотических систем не представляется аналитическими формулами, и их надо получать численно.

Пример хаоса – движение частицы в потенциале с двумя небольшими ямками:

(3.3.4)

(a) Нарисуйте этот потенциал и найдите две точки равновесия (одна, в середине, нестабильна).

(b) Пусть масса m = 1 и сила:

(3.3.5)

Выведите уравнение движения частицы. Решите уравнение движения. (Точность ~ 10^–6). Попробуйте несколько начальных условий и посмотрите, как ведет себя частица в двойной яме. Посмотрите на движение в фазовом пространстве при начальных условиях ДУ, когда вы можете видеть переход из одной ямы в другую и между ямами взад-вперед.

(c) Добавьте вынуждающую силу F = Acos(2t) и добавьте линейную силу затухания где γ = 0.4. Начальные условия: x(0) = 1, v(0) = 0. И сделайте несколько расчетов с увеличивающимся А, пока поведение не станет хаотическим (переход от стабильного к хаотическому движению происходит между A = 0.7 и A = 0.8). Время от t = 0 до t = 1000. График x(t) покажет случайные перескоки между правой и левой ямками (рис. 3.3.2). Для каждого расчета рисуйте спектр x(t). Покажите, как ваши графики иллюстрируют прерывистость и шум 1/f (описание см. ниже).

(d) Рассчитайте дважды при A = 0.96: один раз с начальными условиями x(0) = 1, v(0) = 0, а другой – с x(0) = 1.000001, v(0) = 0. Нарисуйте для каждого случая x(t) и объясните, как эти графики иллюстрируют эффект бабочки (см. ниже).

Рис. 3.3.2. Прерывистые случайные скачки между двумя потенциальными ямками

Случайные перескоки взад-вперед между положениями равновесия в задании 3.3.3(c) называются прерывистостью (intermittency), и это один из стандартных способов перехода системы в хаос. Как только движение системы становится хаотическим, можно видеть рост в спектре вблизи ω = 0. Этот низкочастотный пик в спектре есть один из симптомов хаоса (называется «1/f шум») и является прямым следствием медленного случайного переключения прерывистости.

Другим признаком хаоса в системе является эффект бабочки (см. задание 3.3.3(d)), где очень малые изменения начальных условий вызывают очень разное движение. Название этого эффекта произошло от фразы его открывателя Эдварда Лоренца (Edward Lorenz), – метеоролога, который в начале 1960-х гг. изучал численные модели для предсказания погоды. Он отметил, что очень малые изменения начальных условий (слишком малые, чтобы их можно было измерить) приводили к очень сильно различающимся результатам модельных расчетов, и задался вопросом: «Может ли взмах крыльев бабочки в Бразилии вызвать торнадо в Техасе?».

(a) При A = 0.96 постройте график фазового пространства для задания 3.3.3(с). Обнаружите, что хаотическое поведение успокоится и заменится предельным циклом в фазовом пространстве. Этот предельный цикл будет трудно наблюдать, потому что начинаются переходные процессы. Чтобы это преодолеть, надо подобрать параметры графика.

(b) Сделайте другой график при A = 1.30. Единственный предельный цикл заменится двумя (две повторяющиеся петли в фазовом пространстве).

Заметьте: чтобы увидеть кратные предельные циклы, увеличивайте масштаб и внимательно смотрите, особенно если петли узкие. Это показано на рис. 3.3.3 для четырехциклового состояния. В верхней части показана вся история во времени от начала, а в нижнем – самое позднее конечное состояние. Четко видны четыре петли, откуда название – четырехцикловое. Это пример знаменитого «пути с удвоением периода» к хаосу, а также пример регулярного поведения в области параметров пространства, где можно ожидать хаос.

(c) Сделайте график предельного цикла при A = 1.36 (четырехцикловое состояние), которое при A = 1.371 заменится на восьмицикловое, и затем хаос снова закончится. Расчет с A = 1.97, 1.99, 2.0 покажет, что хаос исчез и сменился на двух-, четырех-, восьмикратный цикл. Выше 2 – снова хаос. При A = 3 амплитуда достаточно велика, осциллятор управляется и появляется увлечение. Можно подумать, что большие A всегда должны вызывать увлечение, но A = 50 хаотично, и при изменении A есть наборы 2, 4, 8, ... циклов и областей хаоса. Если проявить терпение, то можно посмотреть, что обнаружится.

Учтите: при A = 1.36 картинка фазового пространства может выглядеть как перевернутая версия рис. 3.3.3. Это нормально: если (x, v) заменить на (–x, –v), то ДУ остается тем же самым. Единственное различие в том, что вынуждающий член изменяет знак, что эквивалентно сдвигу фазы на π. Такой фазовый сдвиг может получиться, если стартовать по-другому, но это можно легко случиться, если применить несколько другие начальные условия. Такое «перевернутое» состояние можно ожидать и по физическим соображениям: расчет показал, что получившееся состояние обладает узкими петлями слева и широкими справа, но потенциал справа налево симметричен, поэтому должно быть другое состояние – с узкими петлями справа и широкими слева.

Рис. 3.3.3. Полная временная история и конечное четырехцикловое состояние в нижнем окне. В нижнем рисунке меньше петель, потому что это конечное состояние; добавочные петли на верхнем образовались раньше

(a) Последовательность чисел Фибоначчи F_n

(3.3.8)

(первые числа: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...). Напишите цикл, который в первые 100 элементов массива F_n занесет числа Фибоначчи.

(b) Заполните массив x 50001 числом: x = –2*π; h = 2*π; h = 4*π/50000; (нумерация массива от –2n до 2n).

Затем запишите цикл для вычисления ряда Фурье

(3.3.9)

Нарисуйте эту функцию и внимательно рассмотрите, как она выглядит (похоже – на рис. 3.3.4). Изменяя масштаб, посмотрите, как выглядят похожие на горы структуры.

Рис. 3.3.3. Функция задания 3.3.5

При слишком большом увеличении вы получите нечеткий график, поэтому можно сделать еще один расчет для 50001 точки в диапазоне от x = 3.1 до x = 3.2 и снова увеличить масштаб. Такие кривые называются фракталами, и они важны в теории хаоса.