Интегралы в физических задачах возникают, например, при расчете электрического поля (вспомните курс общей физики по электричеству и магнетизму). Ниже представлен расчет такого интеграла в Maple.

Рассмотрим полусферу в сферических координатах r = R и с плотностью поверхностного заряда σ. Надо найти электрический потенциал V(z) вдоль оси z.

Решение

Радиус-вектор до точки наблюдения на оси z равен r = z · k, где k – это единичный вектор в направлении z.

Вектор расстояния до малого элемента заряда – это r = Rr', где r' – единичный вектор, исходящий из начала координат, расположенного в малом заряде dq.

Применив закон косинусов, можем записать:

,

интегрирование ведется по θ и по φ. Интеграл по φ дает 2π, и у нас остается:

,

Применим команду int для построения функции V(z), которую используем в дальнейшем.

Предположим, что V(z) представляет собой экспоненциально спадающую функцию. (Так сделать удобно, чтобы не ошибиться при представлении быстро изменяющейся функции. Не понравится – изменим так, как нужно.) Запись для построения функции:

> V:=z->exp(-z);

Напоминание

Индексированную переменную ε0 Maple «поймет» как 0-й элемент массива ε. С вытекающими последствиями.

Далее дается только начало записи Maple, которую предлагается завершить самостоятельно.

• > restart:e0:=8.854e-12;
• sigma:=1e-10;R:=0.5;V:=z->int(....)/(2*e0);

Надо учесть, что в этом случае Maple, не даст ответ в виде формулы, он только покажет интеграл на экране.

Получилась функция, и нужно нарисовать ее зависимость от z. Сделайте это при z, равном от – 5 до 5.

Теперь рассчитаем полный заряд полусферы и наложим графики V(z) и приблизительного потенциала точечного заряда. Два графика совпадут (почти) при |z | >> R. Можно получить лучшее согласие, расположив точечный заряд где-то в другом месте, а не в начале координат; графически вы можете найти точку z, куда следует поместить точечный заряд.

Напомним формулу для потенциала точечного заряда вдоль оси z.

Рассмотрим интеграл в примере из аналитической механики. Вспомним уравнение движения маятника:

где Ω – частота его малых колебаний. Если уравнение умножить на и проинтегрировать по времени, получим закон сохранения энергии в этой задаче:

где θ₀ – начальное угловое положение маятника, перед тем как его освободили из состояния покоя.

Вычислим, сколько времени маятник идет из начального состояния θ₀ вниз до θ = 0 (это время есть – четверть периода колебаний маятника).

(a) Покажите, что уравнение для энергии (выше) можно переписать в виде

Это означает, что четверть периода движения задается интегралом

(b) Чтобы получить формулу для периода маятника T, Maple выполнит интегрирование. Для удобства записи используем s и s0 вместо θ и θ₀.

Вас, наверное, не впечатлила красота результата...

Часть проблемы заключается в следующем: Maple не знает, что вы собираетесь использовать θ₀, поэтому он дает вам ответ общего вида, который годится для любых, в том числе и комплексных переменных. Чтобы немного ограничить предположения Maple , используйте команду assume:

• > assume(theta0,real,0

(Учтите, когда вы снова увидите эти переменные, они будут иметь перед собой значок ~. Это способ, которым Maple показывает, что в своих действиях он был ограничен командой assume.) Теперь снова попытайтесь проинтегрировать; результат выглядит получше, но все еще несимпатично.

Чтобы помочь Maple, примените приемы интегрирования, например замену переменных. Попытайтесь вычислить интеграл, учитывая, что при замене подынтегральной функции внутри квадратного корня. Получите весьма простой ответ, в котором будет функция EllipticK. Как видите, приемы интегрирования из первого курса пригодились.

(c) Нарисуйте период T как функцию начального угла θ₀ от 0 до π. Имеет ли он физический смысл? Проверьте ваш график для θ₀ вблизи нуля и вблизи π.

Момент инерции определяется как интеграл , где s – это расстояние по нормали от оси вращения до точки в объекте; ρ – плотность; dV – элементарный объем, т. е. dxdydz в декартовых координатах.

(a) Примените Maple для нахождения момента инерции сферы радиусом R относительно оси, проходящей через ее центр. Это легче всего сделать в сферических координатах, где . Если полагать, что z – это ось вращения, то (нарисуйте картинку, чтобы убедиться в правильности). Пусть плотность постоянна, и тогда .

После правильного вычисления трехмерного интеграла вы обнаружите, что момент инерции равен .

(b) Примените Maple для нахождения момента инерции конуса высотой L и радиусом основания R относительно оси симметрии конуса (ось проходит от острого конца через середину основания). Это легче всего сделать в сферических координатах, где < и s = r . Плотность также полагайте постоянной, .

Пример того, как использовать эту идею для решения физических задач.

Уравнение движения маятника

где угол θ равен нулю, если маятник висит вертикально вниз, и равен π, если маятник балансирует вертикально вверх (представьте не струну, а стержень в виде маятника).

Maple может решить эти уравнения, но ответ выглядит уродливо. Нам надо посмотреть на решение вблизи некоторых особых значений θ (вроде прямой линии вниз (θ = 0) и прямой вверх (θ = π)) и увидеть, можно ли заменить это сложное ДУ на приближенное и более легкое. Значение имеет только окончание этой задачи, поскольку известно, как выглядят решения таких двух ДУ:

(i)          и

(ii)     

Первое – это обычный гармонический осциллятор, решением которого являются простые синусоидальные покачивания вверх-вниз на частоте ω, вроде cos(ωt) или sin(ωt).

Второе в одном из решений содержит экспоненту , поэтому представляет нестабильное движение.

Для продолжения решения задачи запомним эти два вида колебаний: одно с положительным коэффициентом справа и одно с отрицательным.

Путем разложения в ряд уравнение маятника с sin(θ) можно сделать похожим на более простые уравнения.

(a) Разложите правую часть уравнения маятника около нижнего положения равновесия при θ = 0 и путем сравнения его с (i) и (ii) покажите, что это результаты для простого гармонического осциллятора.

(b) Разложите правую часть уравнения маятника около вертикального положения равновесия при θ = π. После разложения сделайте замену переменных θ = φ + π в уравнении маятника:

чтобы получить ДУ для φ.

Сравните получившееся уравнение с (i) и (ii), чтобы показать, что новое уравнение имеет нестабильное решение (это математический прием, который покажет то, что уже и так известно: если повесить линейку прямо вниз и немного ее покачать, она сдвинется взад-вперед, а если эту линейку сбалансировать прямо вверх и сдвинуть, она упадет).

В теории относительности энергия тела с массой m, движущегося со скоростью v, описывается известной формулой

Интересный вопрос: что случилось с обычной кинетической энергией ?

Ответ получается с помощью ряда Тейлора.

Представьте, что объект движется со скоростью много меньше скорости света, и сделайте разложение этой формулы в ряд Тейлора по v, сохранив два члена. Один из них – кинетическая энергия, а второй – это идея Эйнштейна об энергии покоя: объекты, масса которых имеет энергию...

Формула из курса физики для потенциала точечного заряда .

Формула для потенциала диполя не вводилась, но Maple поможет ее получить.

Диполь – это пара зарядов q и –q, расположенных на расстоянии d. Их дипольный момент обозначается символом p, его величина p = qd. Пусть заряды расположены на оси z: положительный – в точке , отрицательный – в точке . Система координат – сферическая. Потенциал как функция расстояния r от начала координат и полярного угла θ:

Выполните разложение в ряд этой формулы для малых расстояний d и сохраните ведущий член, чтобы получить формулу для потенциала диполя в сферических координатах. Помогите Maple, применив assume(r>0). Возможно, вам придется экспериментировать с порядком разложения; – 1 недостаточно. Возможно, ведущий член получится в результате применения серии команд. Примените ?series[leadterm].